1.2. Elemente de calculul propoziţiilor
Definiţie.
Se numeşte alfabet o mulţime de semne.
Se numeşte enunţ orice succesiune de semne dintr-un alfabet.
Se numeşte propoziţie în sens matematic un enunţ care este fie adevărat, fie fals.
Valoarea de adevăr a unei propoziţii
Definiţie
Se numeşte valoare de adevăr a unei propoziţii proprietatea acesteia de a fi adevărată sau falsă.
Valoarea de adevăr a unei propoziţii p se notează v(p).
v(p) = 1, dacă p este adevărată
0, dacă p este falsă.
Uneori se foloseşte în loc de 1, a (de la adevărat) şi în loc de 0, f (de la fals).
Logica clasică a propoziţiilor este în concordanţă cu următoarele trei principii:
1)
principiul terţului exclus : o propoziţie nu poate lua alte valori decât 1 sau 0
2)
principiul nonconcordanţei : o propoziţie nu poate lua în acelaşi timp cele două valori 1 şi 0
3)
principiul identităţii : o propoziţie îşi păstrează valoarea sa de adevăr.
1.3. Operaţii logice elementare
Negaţia Fie p o propoziţie oarecare. Negaţia propoziţiei p este propoziţia notată ¬ p (non p) care este adevărată când peste falsă şi este falsă când p este adevărată.
|
P |
¬ p |
|
1 |
0 |
|
0 |
1 |
Conjuncţia propoziţiilor p, q este propoziţia notată pʌ q (citim p şi q) care este adevărată dacă şi numai dacă p şi q sunt adevărate şi falsă în celelalte cazuri.
|
p |
q |
pʌ q |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
0 |
Obs. Conjuncţia logică a propoziţiilor p1 , p2, …, pn conduce la o propoziţie care este adevărată dacă toate cele n propoziţii sunt adevărate şi falsă dacă cel puţin una dintre cele n propziţii este falsă.
Disjuncţia propoziţiilor p, q este propoziţia notată p۷ q (citim p sau q) care este adevărată dacă şi numai dacă cel puţin una din propoziţiile p, q este adevărată şi falsă în caz contrar.
|
p |
q |
p۷ q |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
1 |
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
0 |
Obs. Disjuncţia logică a propoziţiilor p1 , p2, …, pn conduce la o propoziţie adevărată numai dacă măcar una dintre cele n propoziţii este adevărată.
În matematică este frecventă negaţia unei conjuncţii de propoziţii sau a unei disjuncţii de propoziţii, guvernată de legile lui De Morgan: negaţia unei conjuncţii de propoziţii este egală cu disjuncţia negaţiilor acestor propoziţii; negaţia unei disjuncţii de propoziţii este egală cu conjuncţia negaţiilor acestor propoziţii.
Există o deosebire între negaţia lingvistică şi cea logică. Un enunţ precum Toţi elevii sunt atenţi este negat, în vorbirea curentă prin Unii elevi nu sunt atenţi. În logică însă forma optimă a negaţiei este Există (cel puţin) un elev neatent. Sub nicio formă nu este corectă forma Nici un elev nu este atent ca negaţie a propoziţiei considerate.
Implicaţia propoziţiilor p, q în această ordine reprezintă propoziţia notată p→ q (citim „p implică q” sau „dacă p, atunci q”) care este falsă dacă şi numai dacă p este adevărată şi q este falsă şi adevărată în rest.
Propoziţia p se numeşte ipoteză, iar q concluzie.
|
P |
q |
p→ q |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
1 |
|
0 |
0 |
1 |
Implicaţia este reflexivă (Dacă p, atunci p) şi tranzitivă (din Dacă p, atunci q şi Dacă q, atunci r rezultă Dacă p, atunci r), însă nu este simetrică (din Dacă p, atunci q nu rezultă Dacă q, atunci p).
Echivalenţa propoziţiilor p,q reprezintă propoziţia notată p↔q (citim „p echivalent cu q” sau „p dacă şi numai dacă q”) care este adevărată dacă şi numai dacă ambele propoziţii au aceeaşi valoare de adevăr.
|
p |
q |
p↔ q |
|
1 |
1 |
1 |
|
1 |
0 |
0 |
|
0 |
1 |
0 |
|
0 |
0 |
1 |
Temă de lucru:
1.
Daţi 3 exemple de enunţuri care sunt propoziţii şi 3 enunţuri care nu sunt propoziţii în sens matematic. În cazul primelor 3 enunţuri, precizaţi valoarea lor de adevăr.
2.
Stabiliţi dacă următoarele enunţuri sunt propoziţii în sens matematic:
a)
Eu întotdeauna mint.
b)
Oraşul Praga este capitala Cehiei.
c)
Numărul 123456789101112……..2008 are 6234 cifre.
d)
Nu te cred!
e)
Balenele şi găinile sunt mamifere.
f)
Bărbierul din oraşul Selmont îi bărbiereşte pe toţi acei bărbaţi din Selmont care nu se rad singuri. ( Indicaţie: pe bărbier cine-l rade? )
3.
Considerăm propoziţiile p: „ 4 > 6 „ şi q: „ Într-un triunghi dreptunghic isoscel, măsurile unghiurilor ascuţite sunt de 45o. Construiţi negaţia propoziţiei p, conjuncţia propoziţiilor p, q, disjuncţia propoziţiilor p, q, implicaţia „q implică p”, precum şi echivalenţa propoziţiilor p, q, precizând de fiecare dată valoarea de adevăr a propoziţiei nou-formate.
4.
Completaţi tabela de adevăr de mai jos:
|
p |
q |
r |
¬p |
(¬p)۷q |
q→r |
p→r |
q۷r |
pʌ(q۷r) |
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
0 |
0 |
|
|
|
|
|
|
1.4. Condiţie suficientă. Condiţie necesară
Dacă p şi q sunt propoziţii, atunci p este o condiţie suficientă pentru q dacă p→q.
Se mai spune că propoziţia p este mai tare decât q sau că q este mai slabă decât p.
Exemplu: Dacă un număr este divizibil prin 6 atunci numărul este divizibil prin 3.
Dacă p, q sunt propoziţii, atunci q este o propoziţie necesară pentru q dacă q→p.
Exemplu: O condiţie necesară ca un număr să fie divizibil cu 6 este ca numărul să fie divizibil cu 3 .
Fiind date două propoziţii p şi q, spunem că p este o condiţie necesară şi suficientă pentru q (sau „p dacă şi numai dacă q” sau „p atunci sau numai atunci q) dacă p↔q.
Exemplu: Într-un triunghi dreptunghic o catetă este jumătate din lungimea ipotenuzei dacă şi numai dacă unghiul opus acestei catete are măsura egală cu 30o.
Teoreme
O teoremă este o propoziţie adevărată care stabileşte anumite proprietăţi pentru diferite obiecte matematice.
Exemple: 1. Diagonalele unui dreptunghi sunt egale.
2. Dacă produsul a două numere întregi este un număr impar, atunci suma lor este un număr par
Teoremele se formulează de obicei sub forma unei propoziţii condiţionale, construită cu ajutorul expresie „dacă … atunci …”. Partea întâi, cea care începe cu cuvântul „dacă” se numeşte ipoteze teoremei, iar partea a doua, cea care începe cu cuvântul „atunci” se numeşte concluzie.
În limbaj formal o teoremă are fie structura p→q, unde p este ipoteze, iar q concluzia sau are structura p↔ q (construită cu ajutorul expresiilor „dacă şi numai dacă” sau „atunci şi numai atunci”); vezi exemplele de la condiţia necesară şi suficientă.
Propoziţiile adevărate care rezultă imediat dintr-o teoremă se numesc corolare. Propoziţiile adevărate care pregătesc demonstraţia unei teoreme se numesc leme. Propoziţiile care se acceptă fără demonstraţie se numesc axiome; acestea folosesc la demonstraţia teoremelor , alături de definiţiile care indică proprietăţile fundamentale ale unui obiect matematic şi de rezultate preliminarii obţinute în urma altor demonstraţii.
Teorema reciprocă
Se numeşte reciproca unei teoreme date o teoremă a cărei ipoteză serveşte drept concluzie, iar concluzia drept ipoteză a teoremei date.
În limbaj formal dacă teorema directă este: „dacă p, atunci q”, teorema reciprocă are forma „dacă q, atunci p”.
Exemplu:
|
Teorema directă |
Teorema reciprocă |
|
ÎntrIntr-un triunghi ΔABC dreptunghic in A avem BC2 = AB2 + AC2. |
Dacă într-un triunghi ΔABC avem BC2 = AB2 + AC2, atunci triunghiul este dreptunghic. |
A se face distincţie între o teoremă reciprocă şi reciproca unei teoreme !!! Teorema implică automat că este vorba despre o propoziţie adevărată, pe când reciproca unei teoreme este doar o propoziţie (nu totdeauna adevărată).
În privinţa construcţiei reciprocei unei teoreme, există două modalităţi:
1.
să luăm drept concluzie a reciprocei toate condiţiile impuse obiectului în teorema directă şi drept ipoteză a reciprocei numai concluzia teoremei directe.
2.
să luăm drept concluzie a reciprocei numai o parte din condiţiile impuse obiectelor din teorema directă, transformând restul condiţiilor din teorema directă şi concluzia acesteia în ipoteză a reciprocei.
De obicei, ipoteza unei teoreme poate cuprinde mai multe condiţii impuse obiectului considerat, iar concluzia ei, mai multe afirmaţii referitoare la acest obiect. Combinând în diferite moduri condiţiile impuse obiectului considerat şi afirmaţiile cuprinse în concluzia teoremei, se obţin dintr-o teoremă mai multe reciproce.
Exemplu:
|
Teorema directă |
Teoreme reciproce |
|
Dacă într-un patrulater laturile opuse sunt paralele două câte două, atunci ele sunt şi congruente. |
Prima reciprocă Dacă într-un patrulater ambele perechi de laturi opuse sunt congruente între ele, atunci acestea sunt şi paralele |
|
A doua reciprocă Dacă într-un patrulater o pereche de laturi opuse sunt paralele şi congruente, atunci cealaltă pereche de laturi opuse vor fi de asemenea paralele şi congruente între ele. |
Teorema contrară
Teorema care se obţine din teorema directă prin înlocuirea ipotezei şi a concluziei cu negaţiile lor se numeşte contrara teoremei directe.
Reciproca şi contrara unei teoreme sunt echivalente, adică dacă reciproca este adevărată, atunci este adevărată şi contrara şi reciproc, dacă este adevărată contrara, este adevărată şi reciproca. De asemenea teorema directă şi contrara reciprocei sunt echivalente.
Echivalenţa dintre teorema directă şi contrara reciprocei poate reprezenta un instrument pentru rezolvarea unei teoreme, tocmai prin demonstraţia contrarei acesteia, metoda numindu-se metoda reducerii la absurd.
Exemple:
1.
Principiul lui Dirichlet (sau al cutiei)
a) Dacă în n cutii se află m bile, cu m>n, atunci există măcar o cutie în care se află cel puţin două bile.
Demonstaţie: Prin metoda reducerii la absurd. Dacă în fiecare cutie se află cel mult câte o bilă, atunci în cele n cutii se află cel mult n bile, n<m, în contradicţie cu ipoteza. Deci presupunerea făcută este falsă, enunţul principiului lui Dirichlet fiind astfel demonstrat.
b) Dacă două drepte sunt paralele cu o a treia dreaptă, atunci ele sunt paralele între ele.
Demonstraţie: Prin metoda reducerii la absurd.